Phân tích phần tử hữu hạn: sự khác biệt giữa các phần tử bậc nhất và bậc hai là gì?


Câu trả lời 1:

Wasfi Zakaria đã cung cấp một mô tả tuyệt vời về cách tiếp cận khác biệt giữa các yếu tố thứ tự mẫu thứ nhất.

Có một sự phức tạp tinh tế được giới thiệu trong các yếu tố khi chúng trở nên trật tự cao hơn.

Chúng ta hãy nhìn vào một hình tam giác trong không gian thực.

Hàm hình dạng chính tắc trong tọa độ thực cho phần tử tam giác tuyến tính là:

P = a + bx + cy (3 tham số và 3 nút)

dP / dx = b hoặc biến dạng theo hướng x có thể thay đổi tuyến tính theo y.

dP / dy = c hoặc biến dạng theo hướng y có thể thay đổi tuyến tính theo x.

Hàm hình dạng chính tắc trong tọa độ thực cho tam giác song tuyến (bậc hai) là:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 tham số và 6 nút)

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + mắt + fx

Và chúng ta lại có những hành vi căng thẳng đối xứng.

Bây giờ hãy xem xét phần tử quad tuyến tính:

P = a + bx + cy + dxy (bốn tham số, bốn nút)

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Lưu ý rằng có một sự bất đối xứng trong các trường biến dạng d / dx và d / dy.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét phần tử serendipity biquadratic (tám nút):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (tám tham số, tám nút)

và các trường biến dạng có thể được xác định bởi

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

và một lần nữa các trường biến dạng không đối xứng.

Vì vậy, các phần tử tam giác (và các phần tử tứ diện i 3D) có các trường biến dạng đối xứng (và do đó ứng suất) trong khi các phần tử serendipity quad thì không.

Tại sao nó quan trọng?

Hãy nhìn vào một trường chuyển vị không đổi thuần túy (kéo dài không đổi). Tất cả các yếu tố sẽ chỉ thể hiện thuật ngữ căng thẳng liên tục và tất cả hoạt động tốt như nhau.

Hãy xem xét biến dạng tuyến tính trên toàn bộ phần (như nói trong uốn thuần túy). tam giác tuyến tính là một biến dạng không đổi và do đó khớp với biến dạng thực như một tập hợp các hàm bước và hội tụ rất chậm. Đối với một số vấn đề nhất định (độ dẻo) các yếu tố này thực sự khóa và được nêu chính xác, hành vi hội tụ là số lẻ. Tuy nhiên, các phần tử song tuyến có thể biểu diễn rõ ràng trường biến dạng tuyến tính thay đổi theo x hoặc y và các phần tử hội tụ ngay lập tức cho một phần tử.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các trường chuyển vị bậc cao hơn, giả sử một trường chuyển vị hình khối tạo ra các trường biến dạng bậc hai (uốn dưới tải cuối). Tam giác song tuyến sẽ phù hợp với trường chuyển vị với một tập hợp các trường bậc hai và sự hội tụ là relativley nhanh chóng. Giống như khôn ngoan, biến thể trường biến dạng có thể được biểu diễn đối xứng qua phần tử và trường biến dạng được xử lý tốt. Hãy nhìn vào các yếu tố quad. Họ sẽ lập bản đồ trường chuyển vị như một tập hợp các trường chuyển vị bậc hai và hội tụ khá nhanh. Tuy nhiên, hiện nay có các thành phần biến dạng bậc hai và chúng có thể kích thích các thuật ngữ bậc hai trong đạo hàm của các hàm hình dạng. Và khi trường chuyển vị trở nên nghiêm trọng hơn và phức tạp hơn, các trường biến dạng bậc cao này sẽ ngày càng bị kích thích. Kết quả có thể là các chủng dao động (và do đó nhấn mạnh), xem bên dưới.

được lấy từ:

Phân tích cấu trúc với phương pháp phần tử hữu hạn. Thống kê tuyến tính

Điều này được thảo luận nhiều hơn trong:

Làm mịn hình vuông nhỏ nhất cho phần tử ứng suất phẳng serendipity tám nút

Thủ tục phần tử hữu hạn

Phân tích cấu trúc với phương pháp phần tử hữu hạn. Thống kê tuyến tính

Hình vuông nhỏ nhất làm mịn phần tử (đường thẳng trong trường hợp này) là một giải pháp rất hiệu quả cho thách thức này.

Sự va chạm:

1) hình tứ giác / hình chữ nhật hội tụ nhanh hơn hình tam giác / hình tứ diện

2) các phần tử song tuyến hội tụ nhanh hơn nhiều so với các phần tử tuyến tính

3) hình tứ giác (hoặc langrangian hoặc ...) hình tứ giác / hình chữ nhật dễ bị dao động căng thẳng ký sinh

4) độ vuông góc nhỏ nhất của các trường biến dạng / ứng suất so với phần tử rất hiệu quả trong việc giảm dao động này


Câu trả lời 2:

Đăng bài rời rạc trong FEA, tất cả các phần tử được gán một hàm (đa thức) sẽ được sử dụng để thể hiện hành vi của phần tử. Phương trình đa thức được ưu tiên cho điều này vì chúng có thể dễ dàng phân biệt và tích hợp. Thứ tự của một phần tử giống như thứ tự của phương trình đa thức được sử dụng để biểu diễn phần tử.

Một phần tử tuyến tính hoặc phần tử thứ tự đầu tiên sẽ chỉ có các nút ở các góc. Đây là một cái gì đó giống như cấu trúc khối trung tâm cạnh.

Tuy nhiên, phần tử bậc hai hoặc phần tử bậc hai sẽ có các nút ở giữa bên cạnh các nút ở góc (cấu trúc cạnh + thân + mặt giữa).

Một phần tử tuyến tính trong sơ đồ trên rõ ràng có hai nút trên mỗi cạnh và do đó chỉ cần một phương trình tuyến tính được chỉ định để thể hiện hành vi của phần tử.

Tuy nhiên, một phần tử bậc hai cần một phương trình bậc hai để mô tả hành vi của nó vì nó có ba nút.

Đối với các yếu tố mà bạn muốn chụp độ cong, đa thức bậc cao hơn được ưu tiên. Các yếu tố thứ tự đầu tiên không thể nắm bắt độ cong.

Thứ tự của phần tử không liên quan gì đến hình học. Trong sơ đồ dưới đây, đối với cùng một tam giác, thứ tự đầu tiên cũng như sự rời rạc thứ hai có thể được thực hiện nhưng thứ hai có cơ hội tốt để nắm bắt độ cong.

Để nắm bắt chính xác các độ cong phức tạp, các đa thức bậc rất cao là cần thiết nhưng chúng phải trả giá bằng thời gian tính toán tăng lên. Do đó, tốt hơn là nên đánh đổi giữa mức độ chính xác và thời gian tính toán.

Bây giờ, hãy nói về số lượng nút giữa các phần tử thứ nhất và thứ hai. Số lượng nút được đến bởi Tam giác của Pascal.

Sau đây là cho hình tam giác. Đối với một thứ tự 0, số lượng các điều khoản là 1 là số lượng các nút phải là 1.

Đối với một tuyến tính (đa thức bậc nhất), số lượng các số hạng là 3 là số lượng nút phải là 3.

Đối với một bậc hai (đa thức bậc hai), số lượng số hạng là 6 là số nút = 6.

Bây giờ trong trường hợp hình vuông, chúng ta phải coi hình vuông là sự bổ sung của hai hình tam giác. Các kết quả cho thứ tự 0, Tuyến tính và Quadratic như sau-


Câu trả lời 3:

Các phần tử bậc nhất thường bao gồm sự kết hợp của các dòng (có nghĩa là việc xây dựng FOE bị chi phối bởi các phương trình bảo vệ tuyến tính hoặc phương trình bảo vệ bậc nhất) tức là phần tử tam giác, tat. Chúng có độ chính xác tốt nhất trong khi xử lý các hình dạng thiên về hình học như hình vuông hoàn hảo, hình chữ nhật, v.v ... Chúng có các nút nhỏ hơn trên lãnh thổ mong muốn.

Các phần tử bậc hai bao gồm các đường cong và đường cong (nghĩa là việc xây dựng SOE bị chi phối bởi các phương trình bảo vệ bậc hai) chúng có xu hướng thể hiện mức độ chính xác cao hơn về độ lệch hình học cũng như các yếu tố hình học rất phức tạp hoặc phức tạp trong khi thực hiện FEA


Câu trả lời 4:

Trên thực tế, đó là hàm đa thức mô tả phần tử, cho các phần tử bậc nhất có hàm như: P (x) = a * x + b

và đối với các phần tử bậc hai, hàm này có dạng như: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

trong hình trên, dòng thứ nhất của các phần tử là thứ tự 1 trong khi các phần tử thứ 2 nằm trong dòng thứ 2.

Tái bút: bạn có thể thấy dạng parabol của các phần tử bậc 2, đó là điều mà các phần tử bậc 1 không thể cung cấp cho bạn.